dr Kazimierz M. Borkowski
Toruń — Katedra Radioastronomii UMK

Czy potrzebna jest reforma kalendarza gregoriańskiego?

Wstęp

Obowiązujący u nas (i powszechnie) od ponad 400 lat kalendarz gregoriański jest kalendarzem słonecznym. Oznacza to, że jego reguły dobrano tak, by pory roku nie przesuwały się względem dat kalendarzowych. Reguły te stanowią, że normalnie lata liczą po 365 dni, ale lata podzielne przez cztery, wyjąwszy lata ``setkowe'' niepodzielne przez 400, są przestępnymi — tj. o 366 dniach. Pory roku określa położenie Słońca względem równika niebieskiego (który jest przekrojem sfery niebieskiej płaszczyzną równika ziemskiego). Astronomowie przyjmują, że np. wiosna rozpoczyna się w chwili przechodzenia Słońca z południowej półkuli nieba na północną. To miejsce na równiku jest nazywane punktem równonocy wiosennej bądź punktem Barana (kiedyś punkt ten leżał w gwiazdozbiorze o takiej nazwie). Dwa kolejne przejścia Słońca przez punkt Barana wyznaczają wspomniany już rok zwrotnikowy.

Idealny kalendarz słoneczny powinien liczyć lata synchronicznie z obiegami Słońca po ekliptyce (widomej drodze Słońca na sferze niebieskiej, w odniesieniu do gwiazd), lecz te ostatnie nie wyrażają się całkowitą ilością dni; gorzej — rok zwrotnikowy nie ma stałej długości. Stąd rodzą się trudności w praktycznej realizacji kalendarzy słonecznych. W poprzednim kalendarzu — juliańskim — co czwarty rok był przestępnym, tzn. średnio w roku było 365,25 dni. Ponieważ średni rok zwrotnikowy ma około 365,2422 dni, oznaczało to powolne ale systematyczne (z szybkością 365,25 – 365,2422 = 0,0078 doby na rok, albo mniej więcej trzech dób na 400 lat) cofanie się pór roku po datach tego kalendarza. Skutkiem tego w okresie od roku 45 p.n.e., kiedy to Juliusz Cezar wprowadził ten kalendarz, do reformy gregoriańskiej w 1582 r. data równonocy wiosennej (początku wiosny) cofnęła się z 21 marca na 10 marca.

Kilkunastodniowe przesunięcie pór roku w kalendarzu nie jest jeszcze powodem do alarmu, zwłaszcza gdy ,,utrata'' kolejnego dnia nastąpi dopiero za ponad 100 lat. W rzeczy samej, reforma którą przeprowadzono miała podłoże religijne, a konkretniej chodziło o problem daty Wielkanocy. Zgodnie z Nowym Testamentem ukrzyżowanie Jezusa z Nazaretu miało miejsce w piątek 14 albo 15 dnia żydowskiego miesiąca Nisan, a więc 14 – 15 dni po wiosennym nowiu Księżyca — w czasie, gdy naród Izraela rozpoczynał uroczyste świętowanie kolejnej rocznicy ucieczki z Egiptu (Paschy). Stąd ustaliła się tradycja obchodzenia Wielkanocy w najbliższą niedzielę po pierwszej wiosennej (przypadającej po 21 marca) pełni Księżyca. Nowy kalendarz opracowała specjalna komisja, która oparła się na propozycji lekarza i wykładowcy uniwersytetu Perugii, A. Liliusa (podobno w tej sprawie konsultowano się także M. Kopernika). Ostatecznie, bulla papieża Grzegorza XIII nakazywała, by po czwartku 4 października 1582 r. następowała data piątek 15 października 1582 r. i by niektóre z lat ,,setkowych'' dotąd przestępnych stały się w przyszłości latami zwykłymi.

Z nowych reguł wynika, że w każdych kolejnych 400 latach jest 97 lat przestępnych, co także znaczy, że średni rok kalendarzowy ma 365[ 97/400] = 365,2425 dni. Różnica względem astronomicznego okresu powtarzania się pór roku wynosi zatem teraz tylko 0,0003 dnia, a to implikuje cofanięcie się początku wiosny o 1 dzień dopiero za około 3000 lat. Rozumowanie takie powoduje, że dominuje zgodność opinii, iż nasz obecny kalendarz, chociaż i on nie jest doskonały, nie wymaga żadnej korekty w częstotliwości i sposobach wprowadzania lat przestępnych jeszcze przez tysiące nadchodzących lat.

Nie oznacza to bynajmniej całkowitej zgodności opinii. Co kilka lat bowiem pojawiają się publikacje sugerujące, że wcześniej czy później reforma kalendarza gregoriańskiego będzie konieczna (np. [2] i [3]). W pracach takich na ogół używa się rozumowania, któreśmy tu podali, a które polega na porównaniu sumy długości lat zwrotnikowych (po 365,2422 dni albo z niewielkim składnikiem zależnym od czasu i wyrażającym zmienność długości tego okresu) z odpowiednią sumą dni kalendarzowych. Na przestrzeni jednego lub dwóch tysięcy lat sposób ten daje poprawne wyniki, lecz w swej istocie jest niepoprawny, co uzasadnię później w tym artykule. Kiedy w grę wchodzą dziesiątki tysięcy lat, to pojawia się następny kłopot, gdyż autorzy takich analiz zapominają, że współczesne wzory analityczne opisujące średni ruch Słońca po niebie, tzw. długość ekliptyczną, a z których można obliczyć długość roku zwrotnikowego, są ważne na przestrzeni zaledwie kilku tysięcy lat. Wreszcie, autorzy ci zwykle pomijają w swoich rachunkach zmienną długość doby kalendarzowej, a ta przecież systematycznie wydłuża się na skutek wyhamowywania rotacji Ziemi przez oddziaływania pływowe (głównie Księżyca). Zmienność doby powoduje, że nawet lata o takiej samej liczbie dni mają różną długość, a to trzeba uwzględnić w ścisłych rachunkach kalendarzowych.

Bliższa analiza pokazuje, że nasza współczesna wiedza dotycząca ruchu Ziemi pozwala planować kalendarze nie dalej niż na jakieś 2, może (optymistycznie) 3, tysiące lat na przód i że pójście znacząco dalej oznacza czystą spekulację o znikomym lub żadnym znaczeniu dla praktyki. W całym tym okresie kalendarz gregoriański bardzo dobrze oddaje lata zwrotnikowe nie pozostawiając żadnych solidniejszych podstaw do ewentualnej reformy. Pokażemy to na dalszych stronach.

Długość ekliptyczna Słońca a kalendarz

T =  JED – 2451545 36525 .

(2)

JED w tym określeniu jest datą juliańską — kolejnym numerem dnia licząc od południa 1 stycznia 4713 r.p.n.e. (wg. kalendarza juliańskiego). Zakłada się tutaj, że wszystkie dni (doby) są równej długości, po 86 400 sekund atomowych (układu SI). Dla odróżnienia od dni juliańskich JD, liczonych jednostkami niejednostajnego (bo zależnego od rotacji Ziemi) czasu uniwersalnego, JED często nazywa się efemerydalnymi dniami juliańskimi.

Podstawowe znaczenie ma wiarogodność wyrażenia (1) i zakres jego stosowalności. Okazuje się, że dokładność tego wzoru jest całkowicie zadowalająca w przypadku dyskusji kalendarzy, gdyż na większych przedziałach czasowych, kiedy nie można już mu ufać, precyzję ogranicza nieokreśloność dobowej rotacji Ziemi. Sprawdziłem to [5] przez porównanie z pełniejszą reprezentacją przedstawioną przez Laskara [6]. Według tego autora błąd długości Słońca obliczonej zgodnie z jego algorytmem sięga kilku sekund łuku dla T = ±100, tj. 10 000 lat od współczesności. W tak odległej epoce wyniki Laskara różnią się od wartości VSOP82 o około 0,6°, zatem możemy przyjąć, że taki jest maksymalny błąd naszego prostego wzoru (oczywiście, błąd ten szybko maleje dla epok zmierzających do J2000). Dodajmy, że do tego miejsca w czasie, różnice między teorią VSOP82 i do niedawna powszechnie obowiązującą sędziwą już teorią Newcomba są w tym kontekscie zaniedbywalne. Zauważamy też, że błąd 0,6° w długości ekliptycznej Słońca transformuje się na bląd około 0,6 dnia w kalendarzu słonecznym, co w skali 10 000 lat nie jest jeszcze groźne. Sytuacja jednak gwałtownie pogarsza się gdybyśmy zapragnęli pójść znacząco dalej w czasie, gdzie ponadto nie mamy informacji o dokładności wzorów Laskara (bo zostały opracowane dla konkretnego przedziału czasu). Dysponując zatem opublikowanymi wyrażeniami na średnią długość ekliptyczną Słońca, analizy kalendarzy musimy ograniczać w czasie do 10 000 lat lub tylko nieznacznie dalej.

Opuszczając nieistotny dla tych rozważań składnik stały z prawej strony równania (1) i dzieląc pozostałe współczynniki liczbowe przez 1 296 000'', tj. przez ilość sekund łuku w pełnym obrocie o 360°, dostajemy bardzo wygodne wyrażenie na obliczanie ilości obiegów Słońca wokół ekliptyki, czyli ilości lat zwrotnikowych, które upłynęły od epoki J2000 do chwili T:

Lτ = 100,0021383976·T + 8,43550·10–7·T2 + 5,88·10 –11·T3.

(3)

To tę liczbę należy porównać z ilością lat kalendarzowych zliczonych w tym samym czasie. W kalendarzu juliańskim jest po prostu 100·T lat kalendarzowych w T wiekach. Dla kalendarza gregoriańskiego, w którym — jak mówiliśmy — lata mają średnio po 365,2425 dni, mamy

LK =  3652500 36524,25 T

(4)

lat kalendarzowych w T wiekach juliańskich.

Różnicę w zliczaniu lat zwrotnikowych (równanie (3)) i kalendarzowych (4) można wyrazić w dniach przez pomnożenie jej przez 365,2425. Dostajemy wtedy praktycznie użyteczną formułę:

N' = 0,03103369·T + 3,08100·10–4·T2 + 2,147·10–8·T3.

(5)

Użyliśmy tutaj współczynnika 365,2425, który jest w zasadzie właściwy tylko dla kalendarza gregoriańskiego. Jego wartość nie jest jednak krytyczna: nawet trzycyfrowe zaokrąglenie, tj. liczba 365, wydaje się zadowalające o ile końcowa różnica N' dla innego kalendarza słonecznego (tj., także innego wzoru (4)) nie jest zbyt duża — powiedzmy, gdy jest mniejsza od pełnego roku (nawet w tym skrajnym przypadku dostalibyśmy wynik z błędem nie przekraczającym jeszcze 0,25 dnia).

Otrzymany w ten sposób wzór mówi nam o ile dni kalendarz gregoriański wyprzedza astronomicznie ścisły kalendarz przy założeniu, że oba były zgodne w chwili J2000. Na przykład, biorąc T = 20 (epoka J4000) dostaje się N' = 0,74^d. Oznacza to, że po 2000 lat od dziś data równonocy wiosennej (mówmy 20 marca) przesunie się o prawie dzień wstecz w kalendarzu gregoriańskim (mówmy na dzień 19 marca około 4000 r.). Tak więc na upartego po tylu latach, a raczej nieco wcześniej — kiedy N' ≈ 0,5^d, należałoby poprawić kalendarz gregoriański poprzez uczynienie jednego z lat przestępnych rokiem zwykłym (o 365 dniach).

Wpływ rotacji Ziemi na kalendarz

Uwzględnienie zmiennej rotacji Ziemi w naszych rozważaniach będzie polegało na zastąpieniu poprzedniego wyrażenia na L_K, wzoru (4), przez L_K = n/365,2425. Jest to równoważne zwiększeniu N' o ΔT przeskalowane z sekund na doby:

N = ((2,147·10–8T + 3,081·10–4)T + 0,03103369)T +  ΔT 86400 .

(7)

Rzeczywistym problemem jest to, że obecnie nie potrafimy dokładnie przewidzieć długości doby nawet na niedaleką przyszłość, nie mówiąc już o tysiącach czy milionach lat. Liczne współczesne oceny przebiegu ΔT (który normalnie modeluje się parabolą) na dużych przedziałach czasu wykazują wzajemne rozbieżności znacznie większe od błędów formalnych. Jedna z ostatnich kompilacji wyznaczeń tego parametru opartych o obserwacje teleskopowe [7] prowadzi do następującego wyniku (w sekundach)

ΔTMB = 48,75 + 48,1699·T + 13,3066·T2.

(8)

Wzór ten przewiduje raczej małe wartości dla ΔT. Z drugiej strony, również niedawne studium obserwacji historycznych obejmujących lata od 390 p.n.e. do 948 n.e. [8], dało całkiem inny obraz rotacji Ziemi:

ΔTSM = 2177 + 408,6·T + 44,3·T2.

(9)

W literaturze można znaleźć wiele innych wyznaczeń ΔT, jednak te dwa wydają się ograniczać znakomitą większość z pozostałych. I chociaż możnaby wskazać więcej argumentów na korzyść wyniku Stephensona i Morrisona w przypadku odległych epok, to tutaj potraktujemy oba rezultaty równoprawnie jako wyznaczające przedział przyszłych dopuszczalnych wahań rotacji Ziemi. W takim razie, w roku 4000 (T = 20, ΔT od 6300 do 28 000 sekund) ze wzoru (7) będziemy mieli 0,8^d < N < 1,1^d zamiast 0,74^d. Ten rezultat upoważnia nas do stwierdzenia z przekonaniem, że nasz kalendarz gregoriański nie wyprzedzi astronomicznego o znacząco więcej niż 1 dzień jeszcze przez najbliższe 2000 lat.

Rys. 1. Różnica w liczbie lat zwrotnikowych i gregoriańskich obliczona zgodnie z równaniem (7). Dwie krzywe odpowiadają różnym modelom zakumulowanego zwalniania dobowej rotacji Ziemi: równanie (8) (dolna krzywa) i (9) (krzywa górna).

Podobny rachunek dla 10 000 lat od teraz (T = 100; Rys. 1) jest o wiele bardziej rozczarowujący: 8^d < N < 12^d. Taka niepewność wespół z całkiem zadowalającym zachowaniem się naszego kalendarza w najbliższych tysiącleciach czynią próby reform tego kalendarza z jednej strony przedwczesnymi, a z drugiej zbytecznymi. Można spekulować, że jeśli nawet nasza cywilizacja przetrwa wszystkie prawdopodobne rewolucje (społeczne, naukowe i techniczne) przyszłości, to okaże się, że wcale nie zależy jej na precyzyjnej synchronizacji kalendarza z datami świąt kościelnych (przypomnijmy, że reforma gregoriańska miała na celu przede wszystkim pogodzenie daty Wielkanocy z datą równonocy wiosennej). Dla kogoś, kto upierałby się jednak przy potrzebie reformy może lepszym wyda się kontrargument, że przyszłe pokolenia będą kontrolować rotację Ziemi (a może i jej obieg wokół Słońca) w taki sposób, aby nie trzeba było korygować reguł kalendarza!

Rok zwrotnikowy i inne okresy orbitalne

Rodzi się pytanie, jak w tej sytuacji obliczać długość zmiennych okresów obiegu. I chociaż sprawa jest raczej elementarna, trudno byłoby polecić Czytelnikowi jakąś pozycję literatury. Z drugiej strony, wszystkie najważniejsze roczniki astronomicznie podają regularnie aktualne wartości liczbowe długości różnych lat i miesięcy. Choćby z tego powodu warto omówić to zagadnienie szerzej. Moglibyśmy poprzestać na określeniu długości roku zwrotnikowego, jednakże sytuacja z innymi okresami jest bardzo podobna — autorzy podstawowych opracowań zdają się traktować je jako nazbyt oczywiste by poświęcić im nawet kilka zdań, nie mówiąc już o podaniu jakichkolwiek wzorów praktycznych. Poniższe definicje i pełny przykład dla roku zwrotnikowego powinny zaspokoić gros potrzeb w tym zakresie.

Bodaj najważniejszym ze wspomnianych keplerowskich elementów orbitalnych jest średnia długość ekliptyczna ciała na orbicie, gdyż zawiera zarówno informacje o okresach obiegu, jak też o chwili przejścia przez punkt Barana. Taką wiekość już używaliśmy w postaci wzoru (1). W ogólności ma ona postać:

L = M + = Lo + aT + bT2 + cT3 + ...

(10)

gdzie M jest anomalią średnią, — ekliptyczną długością wstępującego węzła orbity zwiększoną o kątową odległość peryhelium od węzła, T — czasem liczonym zwykle w stuleciach juliańskich od epoki standardowej, a współczynniki a,  b,  c i ewentualnie dalsze podaje się w stopniach lub sekundach łuku. Z długości ekliptycznych (10) można łatwo obliczyć kilka różnych okresów (w przypadku orbity Ziemi mówimy o latach, a o miesiącach dla Księżyca).

Okres (rok, miesiąc) zwrotnikowy dotyczy odstępu czasu pomiędzy dwoma kolejnymi przejściami ciała przez punkt równonocy wiosennej:

τ =  360° =  360° a + 2bT + 3cT2 + ... ≈  360° a ( 1 – 2  b a T – 3  c a T2 – ... ) ,

(11)

gdzie oznacza pochodną po czasie (T) z L, zaś 360° umieściliśmy w liczniku przy założeniu, że a,  b,  c,  ... wyrażono w stopniach; jeśli współczynniki te dane są w sekundach łuku, wtedy w liczniku piszemy 360·3600'' — tak, jak w przykładzie przy końcu tego punktu.

Okresem synodycznym (od złączenia w długości do następnego złączenia) dwóch obiektów o średnich długościach ekliptycznych L₁ i L₂ (np. planety lub Księżyca i Słońca) będzie:

PS =  360° 2 – 1 =  τ1τ2 τ1 – τ2 .

(12)

Okres (rok, miesiąc) anomalistyczny obejmuje czas pomiędzy dwoma kolejnymi przejściami obiektu przez perycentum:

PA =     .

(13)

Okres (rok, miesiąc) gwiazdowy albo syderyczny dotyczy ruchu względem układu inercjalnego (odległych gwiazd albo kwazarów) i mierzy się czasem dwóch kolejnych przejść obiektu przez ten sam punkt ekliptyki (np. punkt Barana) z danej jednej epoki (tj. bez precesji):

P* =  360° . L   – . p   A  ,

(14)

gdzie p_A jest tzw. ogólną precesją w długości i możemy tutaj przyjąć wartość z teorii VSOP82: 5029,0966''T + 1,1137''T² – 0,000076''T³ [9], wyrażenie z systemu Międzynarodowej Unii Astronomicznej [10]: 5029,0966''T + 1,11161''T² – 0,000113''T³, albo bardziej rozbudowany wzór Laskara [6].

W literaturze możemy spotkać się też z terminami rok zaćmieniowy lub miesiąc smoczy, które oznaczają średni okres pomiędzy kolejnymi przejściami Słońca lub Księżyca przez węzeł wstępujący orbity Księżyca:

PE =  360° . L   – . Ω   K  ,

(15)

gdzie Ω_K z kropką jest pochodną po czasie ze średniej długości węzła Księżyca a pochodną średniej długości Słońca (dla roku zaćmieniowego) lub Księżyca (miesiąc smoczy). Oto podstawowe elementy średnie orbity Księżyca według rozwiązania ELP-2000/85 teorii Chapront-Touzé i Chapront ([11], [12]):

LK = 218°18'59,95571'' + 1732564372,83264T – 4,7763T2 + 0,006681T3 – 5,522·10–5T4

ΩK = 125°2'40,39816'' – 6962890,2656T + 7,4742T2 + 0,007702T3 – 5,939·10–5T4

gdzie współczynniki przy Tⁿ podano w sekundach łuku (|T| < 35).

Dla przykładu obliczymy wyrażenie na długość roku zwrotnikowego. Okres ten ma pewne znaczenie przy konstrukcjach zależnych od niego kalendarzy słonecznych, chociaż w takich zastosowaniach lepiej posługiwać się wprost długością ekliptyczną, o czym będziemy jeszcze pisać. Przybliżone wartości liczbowe innych ze zdefiniowanych okresów podajemy w poniższej tabelce.

Długości miesięcy (dla epoki J2000) i lat         Okres Miesiąc Rok  Zwrotnikowy (p. Barana – p. Barana)  27,321582 365,2421897 – 6,16·10–6T  Gwiazdowy (gwiazda – gwiazda)  27,321662 365,2563631 + 1,04·10–7T  Anomalistyczny (perygeum – perygeum)  27,554550 365,2596359 + 3,17·10–6T  Smoczy/zaćmieniowy (węzeł – węzeł)  27,212221 346,6200759 + 3,24·10–5T  Synodyczny (nów – nów)  29,530589   Wyniki podano w dobach, przy czym jeśli występuje T to należy je wyrazić w wiekach juliańskich od J2000. Wartości takie uzyskaliśmy zgodnie z opisem w tekscie i używając elementów średnich teorii Bretagnona [4] oraz Chapront-Touzé i Chapront [11]. Nie podajemy zmian długości miesięcy, gdyż są one bardzo powolne. Najszybsza zmiana (skracanie miesiąca anomalistycznego) wynosi 1,04·10–6 doby na wiek, tj. mniej niż 0,1 sekundy na wiek.

Podstawiając współczynniki występujące w równaniu (1) do pierwszego ze wzorów (11) dostajemy (w wiekach juliańskich!):

τ =  360·3600 129602771,36329 + 2·1,093241·T + 3·0,0000762·T2 ,

gdzie czynnik 3600 zamienia jednostki współczynników z sekund łuku na stopnie. Mnożąc to wyrażenie przez 36525 (w celu zamiany wyniku z wieków juliańskich na doby) i upraszczając współczynniki liczbowe dostajemy ostatecznie

τ =  36525·360·3600 129602771,36329 + 2,186482·T + 0,0002286·T2

≈ 365,242189669781 – 6,161870·10–6·T – 6,44·10–10·T2.

(16)

Przybliżenie powyższe jest jedynie formalnością, gdyż na przedziale 10 000 lat wynikający stąd błąd długości roku nie przekracza 0,0001 sekundy czasu — grubo poniżej błędu wynikającego z niepewności długości ekliptycznej Słońca. Otrzymany wynik można porównać ze wzorem Newcomba (opartym na jego teorii ruchu Ziemi, a w szczególności na wyrażeniu na średnią długość Słońca) cytowanym powszechnie w podręcznikach:

τN = 365,24219879 – 6,14·10–6·T' = 365,24219265 – 6,14·10–6·T,

gdzie T' = T + 1 liczone jest od epoki J1900. Wynik taki dostalibyśmy przyjmując za Newcombem na średnią długość Słońca

LN = 279°41'48,04'' + 129602768,13''T' + 1,089''T'2.

Zauważamy, że te dwie długości roku zwrotnikowego, obliczona przez nas i przez Newcomba, współcześnie różnią się o 0,26 s przy porównywalnych zmianach wiekowych (skracanie roku o 0,00000616^d = 0,53^s na wiek).

Widzieliśmy, że nasz wzór (16) na długość roku zwrotnikowego, który zastępuje uhonorowany wieloletnim stosowaniem wzór newcombowski, w sposób oczywisty wyraża rok w standardowych dobach po 86 400 sekund SI. Są to zatem jednostki absolutne, niezależne od zmiennej dobowej rotacji Ziemi. Także wzór Newcomba był niezależny od rotacji Ziemi (chociaż za czasów Newcomba nie było pojęcia czasu efemeryd, to dziś jego formuły interpretujemy jako wyrażone w jednostkach tego właśnie czasu, a więc praktycznie takich samych jak nasze, tj. z układu SI). Wspominamy tutaj o tym ze względu na Hope, który przekonywująco dowodził [3], że występujący we wzorze Newcomba składnik –6,14·10^–6·T' wynika li tylko ze zwalniania rotacji Ziemi. Ponieważ tak się składa, że wydłużanie się doby można błędnie zinterpretować jako skracanie roku w stopniu porównywalnym z tym wynikającym z nieliniowości zmian długości ekliptycznej, sądzić trzeba, iż właśnie tutaj tkwi źródło nieporozumienia.

Sumowanie długości roku zwrotnikowego a kalendarz słoneczny

τ =  1 =  1 1+ (t) ≈ 1 – (t)

N'' = ∫ t 0  τ  dt – t ≈ ∫ t 0  [1 – (t)]dt – t = –ε(t).

Trzeba także pamiętać, że dokładność obliczenia N'' zależy od małości składnika (t) tak, że w ogólności należałoby unikać sumowania lat zwrotnikowych i używać bezpośrednio średniej długości ekliptycznej w analizach kalendarzy — tak, jak to opisaliśmy wcześniej.

O pewnej formule kalendarzowej

W celu porównania naszego wzoru z Peckowym musimy zamienić argument T na q. Z zadowalającym przybliżeniem T = q·365,2422/36525 + T_o, zatem

l = q[0,242313 – q(3,07·10–8 + 2,15·10–14q)] –  ΔT – ΔT'o 86400 ,

(18)

gdzie teraz argumentem jest rok naszej ery, q. Czytelnik może tą wielkość porównać z liniowo narastającą ilością lat przestępnych w kalendarzu gregoriańskim: 97 na 400 lat (l_G = 0,2425q). Warto jeszcze zauważyć, że l można wyrazić także ściśle w funkcji q przez podstawienie T = (365q + l)/36525 + T_o do (17), a następnie rozwiązanie powstałego równania trzeciego stopnia względem l. Tego rozwiązania nie prezentujemy z powodu jego złożoności i faktu, że przybliżenie (18) na przedziale lat od 0 do 12 000 nie odbiega od niego więcej niż o 0,002 dnia.

Odejmując od równania (18) ilość lat przestępnych faktycznie wprowadzonych w określonym kalendarzu słonecznym do roku q dostajemy uogólnienie drugiego z kalendarzowych wzorów Pecka (równanie (3) w [3]), które mówi o błędzie tego kalendarza w stosunku do idealnego kalendarza słonecznego. Porównując nasze uogólnienia z oryginałami zauważamy, że istotną praktyczną różnicą jest jedynie przyczynek ΔT, gdyż na przestrzeni stosowalności tych wzorów (ok. 10 000 lat) pozostałe różnice są zaniedbywalne.

Podsumowanie

    W przedstawionym artykule starałem się pokazać, że nasz obecny kalendarz jest bardzo dobrym przybliżeniem idealnego kalendarza naturalnego liczącego lata zwrotnikowe i że będzie tak jeszcze przez kilka tysięcy najbliższych lat. Krytycznie oceniłem spotykane przymiarki do reformy kalendarza greogoriańskiego jako nie mające solidnych podstaw. Główne tezy krytyki są następujące. Po pierwsze, dostępne wyrażenia na długość ekliptyczną Słońca tracą swoją ważność po 3 – 10 tysiącach lat od współczesności. Po drugie, zmienna szybkość rotacji Ziemi uniemożliwia precyzyjne przewidywanie ilości dni kalendarzowych (określanych odstępem czasu między kolejnymi górowaniami Słońca) w roku zwrotnikowym — do tego stopnia, że za 10 000 lat mamy już niepewność (ostrożnie oceniając) 4 dni. Po trzecie wreszcie, zgodności kalendarza cywilnego z rachubą astronomicznie ścisłą nie powinno się analizować przez porównywanie średniej długości roku zwrotnikowego i roku kalendarzowego, lecz raczej ich matematycznej odwrotności — orbitalnej prędkości kątowej Słońca i czegoś, co moglibyśmy nazwać ,,słońcem kalendarzowym".

Podaliśmy też kilka praktycznie użytecznych wzorów na obliczanie:

♦ ilości lat zwrotnikowych upływających do wskazanej epoki — wzór (3),
♦ o ile dni kalendarz gregoriański wyprzedza astronomiczny — (7),
♦ długości roku zwrotnikowego — (16), oraz
♦ ilości lat przestępnych, jakie powinny wystąpić do wskazanego roku naszej ery w dowolnym kalendarzu słonecznym, aby był on zgodny z porami roku — (17) lub (18).

LITERATURA

[1] F.R. Stephenson, Liu Baolin, The Observatory, 111, 21 (1991).
[2] P.A. Peck, J. Roy. Astron. Soc. Can., 84, 14 (1990).
[3] E.R. Hope, J. Roy. Astron. Soc. Can., 58, 3 (1964).
[4] P. Bretagnon, Astron. Astrophys., 114, 278 (1982).
[5] K.M. Borkowski, J. Roy. Astron. Soc. Canada, 85, No. 3, 121, (1991).
[6] J. Laskar, Astron. Astrophys., 157, 59 (1986).
[7] D.D. McCarthy, A.K. Babcock, Phys. Earth Planet. Interiors, 44, 281 (1986).
[8] F.R. Stephenson, L.V. Morrison, Phil. Trans. Roy. Soc. London, A313, 47 (1984).
[9] P. Bretagnon, J. Chapront, Astron. Astrophys., 103, 103 (1981).
[10] The Improved IAU System, Supplement to The Astronomical Almanac 1984, U.S. Government Printing Office, Washington, and Her Majesty's Stationery Office, London (1983), s. S1-S39.
[11] M. Chapront-Touzé, J. Chapront, Astron. Astrophys., 190, 342 (1988).
[12] Connaissance des Temps. Éphémérides Astronomiques, 1991, Bureau des Longitudes, Paris (1990).