Jest to pierwsza wersja pracy obarczona błędem opisanym w poprawionej wersji.

Teoretyczne charakterystyki
radioteleskopu RT32


Theoretical patterns of the RT32 radio telescope. SUMMARY: General formulae for voltage (cf. Eq. 5) and power pattern of a parabolic antenna (whose diameter is D) with subreflector (with the diameter of d) are derived. These are then applied to the Toruń 32 m radio telescope design assuming the illumination function of the form 1 - b(2r/D)2, where b = 0.75 and r is the radial distance from the paraboloid axis. Detailed structure of main beam and sidelobes are presented graphically. Numerical values of parameters such as the half power beamwidth at different frequencies, the telescope directivities and surface efficiency (or aperture loss factor due to nonuniform illumination) are given.


    Wiele z parametrów charakteryzujących 32-metrowy radioteleskop opisano w fazie projektowania (zob. też uzupełnienie) tego instrumentu . Niniejszy artykuł jest poświęcony analizie teoretycznej charakterystyki kierunkowej i parametrów z nią związanych.
    Dla dowolnego układu anten wypadkowa charakterystyka kierunkowa i widmo częstości przestrzennych tego układu są parą transformat Fouriera. Innymi słowy, aby wyznaczyć charakterystykę kierunkową systemu antenowego należy obliczyć dwuwymiarową transformatę Fouriera z rozkładu powierzchni zbierających tego systemu (ściślej: rozkładu pola elektrycznego na aperturze).
    Jeśli funkcja rozkładu f(x,y) jest kołowo symetryczna, to także jej widmo ma taką symetrię. W tym przypadku do pary transformat możemy podstawić współrzędne biegunowe: x = r cosf i y = r sinf oraz, w dziedzinie częstości przestrzennych, u = q cosj i v = q sinj, uzyskując zależność od jednej tylko zmiennej (r lub q). Jakobiany tych przekształceń współrzędnych wynoszą r oraz q. Dla pierwszej z pary transformat mamy kolejno:
Ą
ó
ő
-Ą		 Ą
ó
ő
-Ą 
 f(x,y) e–j2p(ux + vy) dxdy = Ą
ó
ő
0		 2p
ó
ő
0
 f(r)e–j2prq(cosfcosj + sinfsinj)r drdf
= Ą
ó
ő
0		 f(r)é
ë		 2p
ó
ő
0		 e–j2prq cos(f - j) df ů
ű		 r dr = 2p Ą
ó
ő
0		 f(r)Jo(2pqr)r dr = F(q),
gdzie Jo(z) = 1/(2p)ň02pexp(–jz cosF) dF = 1/pň0pcos(z cosF) dF jest funkcją Bessela. Funkcję F(q) nazywa się transformatą Hankela (zerowego rzędu) funkcji f(r). Podobnie dla transformaty odwrotnej dostajemy łatwo:
f(r) = 2p Ą
ó
ő
0		 F(q)Jo(2pqr)q  dq,
co jest odwrotną transformatą Hankela (zauważmy, że obie mają taką samą formę i jądro).
    W szczególności zatem, transformata Fouriera jednostkowego dysku (równomiernego rozkładu pola promieniowania na aperturze kołowej) o średnicy D, czyli funkcji P(r/D), ma postać funkcji Bessela pierwszego rzędu (R. Bracewell, The Fourier Transform and Its Applications, 1965):
2p Ą
ó
ő
0 
 P(r
D
 ) Jo(2pqr)r dr = D
2q
 J1(pDq) = 2p ć
č 		D
2
 ö
ř 		2

 		 J1(pDq)
pDq
 ,
(1)
a funkcji postaci [1 - (2r/D)2]P(r/D) —
J2(pDq)
pq2
 = pDq
4
 J1(pDq) + J3(pDq)
pq2
 = p ć
č 		D
2
 ö
ř 		2

 
 J1(pDq) + J3(pDq)
pDq
(2)

gdzie skorzystaliśmy z następującej własności funkcji Bessela:
2n
z
 Jn(z) = Jn-1(z) + Jn+1(z).
    Równomiernie oświetlona apertura kołowa z kołowym otworem o średnicy d w środku, P(r/D) – P(r/d), odpowiada zatem charakterystyce:
2p ć
č 		D
2
 ö
ř 		2

 
 J1(pDq)
pDq
 - 2p ć
č 		d
2
 ö
ř 		2

 
 J1(pdq)
pdq
 = pD2
2
 é
ë 		J1(z)
z
 - ć
č 		d
D
 ö
ř 		2

 
 J1(z d/D)
zd/D
 ů
ű 		.
(3)
Przy nierównomiernym oświetleniu z (2) otrzymamy analogicznie:
J2(pDq)
pq2
 - J2(pdq)
pq2
 = p ć
č		 D
2
 ö
ř		 2

 
 J1(pDq) + J3(pDq)
pDq
 - p ć
č		 d
2
 ö
ř		 2

 
 J1(pdq) + J3(pdq)
pdq
 .
(4)

    W praktyce rozkład pola na aperturze widziany przez urządzenia odbiorcze nigdy nie jest równomierny, gdyż charkterystyka kierunkowa oświetlaczy nie jest funkcją stałą. Często przyjmuje się, że oświetlenie maleje z odległością od środka właśnie jak (r/D)2, do –12 dB na brzegu dysku w stosunku do jego środka. Dla apertury z otworem taki rozkład pola opisuje funkcja postaci:
(1 - b)[P( r
D
 ) - P( r
d
 )] + b[1 – (2r/D)2][P( r
D
 ) - P( r
d
 )],
gdzie b = 0.75, co odpowiada wspomnianym 12 dB [tj. 10lg(0.252)]. W powyższym wyrażeniu lewy składnik w przeciwdziedzinie (tj. po transformacji) odpowiada przeskalowanej funkcji (3), zaś składnik prawy — (4).
    Charakterystyka kierunkowa takiego rozkładu pola ma więc postać:
p
4		 D2 é
ë		 (1 - b) 2J1(z)
z
 + b J1(z) + J3(z)
z		 ů
ű		 – p
4		 d2 é
ë		 (1 - b) 2J1(z d/D)
z d/D		 + b J1(z d/D) + J3(z d/D)
z d/D		 ů
ű
= p
4		 D2 é
ë		 (2 - b) J1(z)
z		 + b J3(z)
z		 ů
ű		 - p
4		 d2 é
ë 		(2 - b)  J1(z d/D)
z d/D
 + b  J3(z d/D)
z d/D
 ů
ű
czyli jest proporcjonalna do:

(2 - b) J1(z)
z
 + b J3(z)
z
 - d
D
 é
ë		 (2 - b) J1(z d/D)
z
 + b J3(z d/D)
z		 ů
ű
albo


U(z) ~
J1(z) + b
2 – b		 J3(z) –d
D		 é
ë		 J1(z d/D) + b
2 – b		 J3(z d/D) ů
ű
z


. 

(5)
Ten wynik jest w przybliżeniu równoważny wzorowi podanemu w opracowaniu RT32 – Podręcznik obserwatora Centrum Astronomii UMK, 1996/2003):
U(z) ~ [2bJ2(z)/z + (1 - b)J1(z) - J1(zd/D) d/D]/z.
Przybliżenie bierze się stąd, że we wzorze 'podręcznikowym' zaniedbano niewielki przyczynek pochodzący od nierównomierności oświetlenia samego otworu w aperturze.


Wykres znormalizowanych funkcji U oraz U2 dla d/D = 0.1 i b = 0.75
(Plot of the normalized voltage and power pattern functions)

Char-przekroj.gif

    Prawa strona (5) przy z ® 0 zmierza do wartości [1 - (d/D)2]/2, którą można użyć do znormalizowania charakterystyki. Oto przykład fortranowskiego programu obliczającego znormalizowaną funkcję U(z): 

      function chaRT32(z)

c Program liczy napieciowa charakterystyke RT32 w funkcji argumentu
c z = pi*D/lambda*sin(theta). Odbierana moc wynosi chaRT32(z)**2.

c Znormalizowana napieciowa charakterystyka pełnego dysku (bez otworu)
c z oswietleniem slabnacym ku brzegowi czaszy jak 1 - beta*(2*r/D)**2:

      dysk(z)=2*( bessj1(z) + beta/(2-beta)*bessj(3,z) )/z

c Uzyte powyzej funkcje Bessela sa dostepne w "Numerical Recipes"
c Charakterystyka dysku z otworem hole = d/D i 12-dB tlumieniem:

      beta=0.75              ! taper 12 dB na brzegu czaszy
      hole=0.1               ! otwor 0.1 srednicy czaszy
      holeSq=hole*hole
      chaRT32=( dysk(z) - holeSq*dysk(z*hole) )/(1 - holeSq)

      end

    Z teorii anten wiadomo, że jeżeli w argumencie charakterystyki z = pDq średnicę D wyrazimy w długościach fali, l, to q jest kosinusem kierunkowym (kosinusem kąta między kierunkiem na niebie a płaszczyzną apertury). Argument ten możemy zatem wyrazić w funkcji kąta q liczonego od kierunku maksimum wzmocnienia (prostopadłego do płaszczyzny apertury):
z = p D
l		 sinq,
(6)
gdzie l jest długością fali obserwowanego promieniowania. Dysponując funkcją typu charRT32 łatwo teraz obliczać kierunkową charakterystykę mocy (kwadrat charakterystyki napięciowej) w funkcji kąta q. W Fortranie kod może mieć np. postać prostej statement function: 

      char2(theta)=chaRT32(pi*Dlambda*sin(theta))**2

gdzie theta = q, pi = p oraz Dlambda = D/l.
    Poniższe trzy rysunki przedstawiają przestrzenny wygląd charakterystyki radioteleskopu o aperturze kołowej o średnicy D = 32 m z centralnym otworem (cień lustra Cassegraina) o średnicy 3.2 m we współrzędnych kątowych obliczonych dla częstości 5 GHz (l = 6 cm) i przy oświetleniu z parametrem b równym 0.75. Rysunki obejmują kwadratowe pole o boku 148' w pobliżu maksimum wzmocnienia. Na rysunkach zaznaczano (innym kolorem) również pełne (niezacienione) przekroje przez maksimum charakterystyki. Charakterystyki mocy promieniowania zostały przeskalowane w amplitudzie o czynniki ok. 100 i ok. 4000 w stosunku do charakterystyki napięciowej, by pokazać strukturę bardzo słabych listków bocznych.


Teoretyczna charakterystyka napięciowa RT32 (Voltage pattern)

CharRT32-napiec.gif


Teoretyczna kierunkowa charakterystyka promieniowania RT32 (Power pattern)
Najwyższy pierścień wokół obciętej wiązki głównej, czyli pierwszy listek boczny,
jest ok. 150 razy niższy od maksimum tej wiązki.

CharRT32-x100.gif


Ta sama charakterystyka mocy przeskalowana o czynnik 40 (Same pattern rescaled for details)

CharRT32-x4000.gif


Numerycznie wyznaczone położenia i poziomy ekstremów charakterystyki kierunkowej RT32.
W pierwszej kolumnie tabeli (Nr) widnieją numery kolejnych listków bocznych; 'min' oznacza minimum między listkami; wiersz oznaczony '0.5' zawiera dane o poziomie połowy mocy głównej wiązki; kąty q odpowiadające argumentowi z podano w minutach łuku w siedmiu ostatnich kolumnach, każda dla innej częstości wymienionej w główce tabeli. 

 Nr  z/p       Moc   Kąty q ['] na poszczególnych częstościach [GHz]
              *106    1.42   1.66      5   11.7     22     30    100

0.5 0.575204 500000   13.0   11.2    3.7   1.58   0.84   0.62   0.19
min 1.43414       0   32.5   27.8    9.2   3.95   2.10   1.54   0.46
 1  1.83802  6694.4   41.7   35.7   11.8   5.06   2.69   1.97   0.59
min 2.49654       0   56.6   48.4   16.1   6.87   3.65   2.68   0.80
 2  2.84525   460.1   64.5   55.2   18.3   7.83   4.17   3.05   0.92
min 3.27229       0   74.2   63.5   21.1   9.01   4.79   3.51   1.05
 3  3.83027   709.6   86.9   74.3   24.7  10.54   5.61   4.11   1.23
min 4.57278       0  103.7   88.7   29.5  12.59   6.69   4.91   1.47
 4  4.82960    17.0  109.6   93.7   31.1  13.29   7.07   5.18   1.56
min 5.10604       0  115.8   99.1   32.9  14.06   7.47   5.48   1.64
 5  5.80383   255.9  131.7  112.6   37.4  15.98   8.50   6.23   1.87
min 6.67868       0  151.5  129.6   43.0  18.38   9.78   7.17   2.15
 6  6.82003     0.5  154.7  132.4   43.9  18.77   9.98   7.32   2.20
min 6.96580       0  158.0  135.2   44.9  19.17  10.20   7.48   2.24
 7  7.78250   116.0  176.6  151.0   50.1  21.42  11.39   8.35   2.51
min 8.69320       0  197.3  168.7   56.0  23.93  12.73   9.33   2.80
 8  8.81618     0.1  200.1  171.1   56.8  24.27  12.91   9.46   2.84
min 8.94209       0  202.9  173.6   57.6  24.62  13.09   9.60   2.88
 9  9.76714    51.9  221.7  189.6   62.9  26.89  14.30  10.49   3.15
min 10.5756       0  240.1  205.3   68.1  29.11  15.48  11.35   3.41
10  10.8130     0.9  245.5  209.9   69.7  29.77  15.83  11.61   3.48
min 11.0613       0  251.1  214.7   71.3  30.45  16.19  11.87   3.56
11  11.7585    20.7  267.0  228.3   75.7  32.37  17.21  12.62   3.79
min 12.4378       0  282.4  241.5   80.1  34.24  18.21  13.35   4.01


    Jednym z ważniejszych parametrów charakterystyki promieniowania radioteleskopu jest szerokość połówkowa głównej wiązki qHPBW, tj. podwojona wartość kąta q, przy którym funkcja U maleje do Ö{0.5} » 0.707 wartości w maksimum. Przekształcając (6) otrzymujemy:
qHPBW = 2 arcsin ć
č 		zHPBW
p 		 l
D
ö
ř		 .
W przypadku RT32 z obliczeń numerycznych wynika, że

zHPBW = 0.575204 p.

    To wyznaczenie pozwala obliczać spodziewane rozdzielczości kątowe RT32 dla różnych częstości. W poniższej tabelce zebrano przykładowe wyliczenia Q = qHPBW dla kilku praktycznie użytecznych częstości (f = c/l, gdzie c – prędkość światła). 

f [MHz]   327   408   610  1420  1660  2290  5000 11700 22000 30000   1E5
l [cm]  91.68 73.48 49.15 21.11 18.06 13.09 5.996 2.562 1.363 0.999 0.300

Q [']   113.3 90.81 60.74 26.09 22.32 16.18 7.410 3.167 1.684 1.235 0.371
Q [°]    1.89  1.51  1.01 0.435 0.372 0.270 0.124 0.053 0.028 0.021 0.006
D/1000     11    17    37   202   276   526  2510 13700 48500 90200   1E6

Parametr w ostatnim wierszu tej tabelki jest kierunkowością teleskopu zdefiniowaną jako
D = 4p/W = 4pU2(0)/[2pňU2(q)sinq dq],
gdzie całkowanie zostało przeprowadzone w zakresie 0 < q < p/2.
    Otrzymany z tego całkowania kąt bryłowy jest też miarą powierzchni skutecznej teleskopu, Aeff = l2/W:

Aeff = 716.723 m2.

Liczba ta naturalnie odzwierciedla jedynie straty powierzchni wynikające z przesłaniania subreflektorem i z nierównomiernego oświetlenia apertury. Samo nierównomierne oświetlenie w założonej postaci wnosi straty: 804.25 – (716.723 + 8.0425) = 79.4845 m2, tj. 100*79.4845/804.25 = 9.88 % apertury.

— KMB    

File translated from TEX by TTH, version 3.33 on 19 Mar 2003 (modified 2003.04.05).