Teoretyczne charakterystyki
radioteleskopu RT32

Część II



Theoretical patterns of the RT32 radio telescope. Part II.. Summary: An earlier study was now extended by numerical calculations of our antenna directional pattern taking into account also shadows cast on the aperture by the subreflector support construction. The calculations lead to a surprisingly complex pattern whose side lobe structure do not resemble the simplified situation of circular aperture with central hole only, as considered in the companion report. Actual holographic measurements, however, suggest that this structure is much more realistic than that calculated for the simplified aperture blockage. Comparison of effects on sidelobes of two different designs of supporting structure of subreflector speaks in favour of the 8-legged structure (the one with skewed struts, factually used in RT32).


Analizy przeprowadzone kilka lat wcześniej dotyczyły uproszczonego modelu radioteleskopu RT32, który nie uwzględniał przesłaniania apertury przez słupy i ramiona konstrukcji wsporczej lustra wtórnego. W tej pracy wykorzytano macierze 1024×1024 punktów ucyfrowionego rysunku czaszy z cieniami (tu jest przykład takiego rysunku z cieniami geometrycznymi). Czarnobiałe rysunki tego rodzaju były konwertowane na format 'raw' a następnie piksele czytane jako binarne dane zero-jedynkowe. Uzyskane tak dane były z kolei przemnażane przez funkcję oświetlenia i transformowane zwykłym (nie szybkim) przekształceniem Fouriera na widmo przestrzenne. Użytą procedurę (DFTxy) dyskretnej dwuwymiarowej transformaty Fouriera zawiera ramka poniżej.


       subroutine DFTxy(x,y,daneRe,daneIm,N,u,v,DFT_Re,DFT_Im)

c Procedura oblicza jeden punkt zespolonego dwuwymiarowego widma 
c Fouriera (DFT_Re,DFT_Im) funkcji zespolonej reprezentowanej przez 
c tablice x i y (wspolrzedne) oraz daneRe i daneIm (wartosci funkcji),
c wszystkie o wymiarach N. Czestosci przestrzenne u i v sa wyrazone w
c liczbie okresow albo cykli (Fu i Fv) na przedziale danych (Dx i Dy)
c podzielonej przez te przedzialy: u=Fu/Dx i v=Fv/Dy. Liczy sie tak:
c      Suma{(daneRe + j*daneIm)*exp[-2*pi*j*(u*x + v*y)]} 
c gdzie j jest jednostka urojona, a sumowanie przebiega po wszystkich 
c danych (N). Te sume ewentualnie mozna podzielic, dla znormalizowania,
c przez pierwiastek z liczby danych, N, tj. sqrt(N). Te procedure mozna
c uzyc do obliczania jednowymiarowej transformaty wolajac ja tak: 
c      call DFTxy(x,y,daneRe,daneIm,N,u,0.d0,DFT_Re,DFT_Im)
c gdzie tablica y moze zawierac dowolne wartosci.
c Transformate odwrotna dostaniemy zmieniajac znak argumentow u i v:
c      call DFTxy(x,y,daneRe,daneIm,N,-u,-v,DFT_Re,DFT_Im)

       implicit real*8 (a-h,o-z)
       dimension x(N),y(*),daneRe(N),daneIm(N)
       data dwaPi/6.283185307180d0/

       DFT_Re = 0
       DFT_Im = 0

       do 1 i = 1,N
        faza = dwaPi*(u*x(i)+v*y(i))      ! u=Fu/Dx ; v=Fv/Dy
        si=dsin(faza)
        co=dcos(faza)
        DFT_Re = DFT_Re + (daneRe(i)*co+daneIm(i)*si)
1       DFT_Im = DFT_Im - (daneRe(i)*si-daneIm(i)*co)

      end

Aby mieć pewność, że schemat ten jest poprawny, przeprowadzono porównanie obliczeń analitycznych dla kołowo symetrycznego modelu RT32 (funkcja CharRT32) i obliczeń za pomocą transformaty Fouriera tegoż modelu w ucyfrowionej postaci (tablica 1024×1024 punktów). Wyniki przedstawia Rys. 1. Jak z niego widać, obie metody dają praktycznie takie same wyniki.

Hankel&DFT.gif

Rys. 1. Przekrój przez widmo przestrzenne dla kołowej apertury o średnicy D z otworem o średnicy d = 0.1 D. Przyjęto rozkład pola w postaci 1 – β(2 r/D)2, gdzie β = 0.75, zaś r to odległość od środka apertury. Oznacza to, że osłabienie oświetlenia czaszy na brzegu (dla r = D/2) względem jej środka wynosi 20 log(1 – β) = –12 dB. Krzywa wykreślona grubą czarną kreską została obliczona za pomocą transformacji Fouriera danych dyskretnych w postaci tablicy o wymiarach 1024×1024, które odpowiadają rysunkowi pokazanemu nad krzywymi. Cieńsza krzywa zaznaczona jasnym kolorem na tle czarnej krzywej to wynik obliczeń analitycznych — jest to transformata Hankela. Pierwszy listek boczny tej charakterystyki ma maksimum na częstości przestrzennej F = 1.83478, co na częstotliwości radiowej 5 GHz (λ = 0.06 m) i dla D = 32 m odpowiada kątowi arcsin(Fλ/D) = 0.1971° = 11.8' liczonemu od kierunku głównej wiązki.



Przedstawione dalej widma (charakterystyki kierunkowe) były obliczane dla oświetleń gaussowskich w postaci exp[–4.605172(r/D)2], gdzie r jest odległością od środka apertury, a D – jej średnicą. Taka postać oznacza osłabienie oświetlenia brzegu czaszy o 10 dB względem jej środka. Cienie proste odwzorowano na podstawie dokumentacji technicznej konstrukcji wsporczej subreflektora, zaś te zewnętrzne – za pomocą podprogramu SHADOW2. Przykładowy rozkład pola elektrycznego (dla cieni konstrukcji wsporczej subreflektora poszerzonych o 5 cm z każdej strony) przedstawia poniższy rysunek. Większość kolorowych rysunków na tej stronie wykonano z użyciem programu QuickGrid v. 5.4.


RozkladPolaEl-Gauss.gif

Rys. 2. Rozkład pola na aperturze RT32 w postaci funkcji Gaussa z uwzględnieniem cieni od lustra wtórnego i jego konstrukcji nośnej. Poziomice zaznaczono co 0.1 amplitudy pola przypadającego na środek apertury. Tutaj cienie od konstrukcji nośnej są poszerzone o 5 cm z obu stron poszczególnych elementów konstrukcji. Widmo tego rozkładu pokazano w dolnej części Rys. 4 oraz na Rys. 5. (Uwaga: ten i większość z dalszych rysunków na tej stronie ma większą rozdzielczość niż pokazana; można więc zobaczyć więcej szczegółów po pobraniu pliku danego rysunku.)



Cien-Dysk1024.gif
Cien-Dysk+sub1024.gif
DFTv(F to+-24)Disk-up,Subr-down.gif

Rys. 3. Gaussowskie rozkłady pola na dysku i dysku z otworem z 10-decybelowym taperem (osłabieniem mocy na brzegach) oraz ich widma. Lewe panele: rozkład pola elektrycznego, u góry – na pełnej aperturze kołowej, u dołu – na aperturze z cieniem subreflektora o średnicy 0.1 głównego lustra. Prawy panel: kompozycja widm przestrzennych – dopełniające się połówki (górna dla częstości przestrzennych [w cyklach na średnicy] 0 < v < 24 i dolna –24 < v < 0) transformat Fouriera (tj. napięciowych charakterystyk kierunkowych) odpowiadajacych rozkładów pola na aperturze, pokazanych w lewych panelach. Mapy wyskalowanie są dla zakresu amplitud od 0 (kolor ciemnoniebieski) do 0.03 i więcej (czerwony). Znaczy to, że w kierunkach wyrysowanych kolorem czerwonym odbierana moc wynosi od 0.0009 do 1 (w środku). Na rozkładach pola skala napięć jest inna: od 0 (na niebiesko) do 1 (na czerwono).



Cien0c1024.gif
Cien5c1024.gif
RT32VPattern(F to+-24)0up+5cmdown.gif

Rys. 4. Rozkład pola i widma RT32 oświetlonego gaussowsko (z 10-decybelowym taperem) z zaznaczonymi cieniami subreflektora i jego konstrukcji wsporczej. Lewe panele: górny – cienie 'optyczne' (geometryczne), dolny – cienie poszerzone o 5 cm z obu stron ramion i słupów (ten sam rozkład w innym rzucie przedstawia Rys. 2). Prawy panel: kompozycja widm przestrzennych – dopełniające się połówki (górna dla częstości przestrzennych [w cyklach na średnicy] 0 < v < 24 i dolna –24 < v < 0) transformat Fouriera (charakterystyk kierunkowych) odpowiadających rozkładów pola na aperturze, pokazanych w lewych panelach. Obie mapy wyskalowanie są dla zakresu od 0 (kolor ciemnoniebieski) do 0.03 i więcej (czerwony). Znaczy to, że w kierunkach wyrysowanych kolorem czerwonym odbierana moc wynosi od 0.0009 do 1 (w środku). Na rozkładach pola (lewe panele) skala napięć jest inna: od 0 (na niebiesko) do 1 (na czerwono).



DFTrawF24+5GMside.gif

Rys. 5. Struktura listków bocznych napięciowej charakterystyki kierunkowej z dolnej części Rys. 4 w zakresie od 0 do 0.03 wartości w maksimum. Poziomice zaznaczono co 0.003 (najwyższa, kolor czarny, odpowiada poziomowi 0.03, do którego większe amplitudy zostały obcięte).



Section0&45deg,0&5cm.gif

Rys. 6. Przekrój przez listki boczne napięciowych charakterystyk kierunkowych z Rys. 4 na kierunku współrzędnej u (poziomo)
i pod kątem 45° do niego.



RT32-PSDed.gif


Rys. 7. Wyniki pomiarów holograficznych RT32 na częstotliwości 12 GHz: błędy powierzchni (z lewej) i odpowiednia charakterystyka kierunkowa (z prawej). W charakterystyce kierunkowej zwraca uwagę obecność promienistych struktur wychodzących od wiązki głównej pod kątem 45° względem pionu/poziomu, przypominających te widoczne na Rys. 4 i 5. Rysunek ten obliczył i wykonał Prof. Andrzej Kus.



TaurusA.gif

Rys. 8. Mapa okolic źródła Taurus A (Mgławica Krab) uzyskana z obserwacji na fali 6 cm (5 GHz) wzięta z pracy Promieniowanie radiowe (λ = 6 cm) z obszaru antycentrum Galaktyki (autorzy: S. Ryś, E. Pazderski i M. Soida). Wysunięto podejrzenie, że za cztery (trzy?) punktowe źródła dość symetrycznie rozłożone wokół Tau A mogą być odpowiedzialne listki boczne charakterystyki promieniowania RT32. Z tej mapy wynika, że źródła te są odległe o ok. 1° od Kraba, a to przekłada się na sin1° D/λ = 9 cykli częstości przestrzennej. Na Rys. 6 widać, że w zakresie 8–10 cykli rzeczywiście jest dość silny podwójny pik na kierunkach pod kątem 45° względem horyzontu lub wertykału (dla charakterystyki z Rys. 9. ten garbaty pik ma jeszcze większą wysokość: 0.042 i 0.041, gdy na Rys. 6 mamy 0.037 i 0.036 dla ok. 8.1 i 9.6 cykli, odpowiednio). A ponieważ większość obserwacji wykorzystanych do zrobienia tej mapy wykonano kilka godzin (ok. 3) po górowaniu (tj. przy kącie paralaktycznym bliskim 40°, co oznacza taki sam obrót osi u i v charakterystyki względem współrzędnych z mapy), ta hipoteza pochodzenia tych źródeł zyskuje stąd pewne wsparcie.



Porównując błędy fazowe z pomiarów holograficznych (lewa część Rys. 7) z zarysami cieni pokazanymi na Rys. 4 łatwo zauważyć, że faktyczne zacienienie jest dużo większe niż to geometryczne. Na kolejnym rysunku pokazano strukturę wiązki podobną do tej z Rys. 5, ale dla cieni nie powiększonych o 5 cm, lecz obliczonych dla elementów zacieniających powiększonych o 5 cm (użyty do tych wyliczeń rysunek takich cieni jest dostępny tutaj). Warto zauważyć, że o ile geometryczny cień jednej podpory na skraju czaszy ma szerokość 61 cm (71 cm po powiekszeniu o 5 cm), to powiększenie promienia tej podpory o 5 cm daje już 115 cm! Niemniej, tak obliczone cienie na aperturze wydają się ciągle mniejsze od tych 'holograficznych'! Otrzymana stąd wiązka charakterystyki kierunkowej, w porównaniu do tej z Rys. 5, ma bardzo podobną strukturę, ale, oczywiście, zauważalnie silniejsze listki boczne.

DFTrawF24plus5GMside.gif

Rys. 9. Struktura napięciowej charakterystyki kierunkowej dla apertury RT32 zacienionej subeflektorem i elementami konstrukcji powiększonymi o 5 cm. Skala i poziomice tej mapy są takie same jak podano w podpisie do Rys. 5. Z prawej strony u góry jest pomniejszona mapka pełnego zakresu charakterystyki w tej samej skali kolorów, ale poziomice są tam co 0.03 (pierwsza poziomica odpowiada więc ostatniej, czyli zaczernionemu poziomowi obcięcia, na głównej mapie).


W planach Katedry Radioastronomii (Centrum Astronomii UMK) na najbliższe lata jest nowy wielki radioteleskop (o średnicy 90 m lub większy), który pod względem geometrii i optyki będzie zasadniczo przeskalowaną wersją istniejącego RT32. Obecnie nie są jeszcze ustalone wszystkie szczegóły konstrukcji, w szczególności sposób zawieszenia lustra wtórnego. W związku z tym warto porównać efekty zacienienia apertury powodowane zawieszeniem tego lustra w RT32 (osiem podpór zwichrowanych względem osi paraboloidy) z bardziej typowym zawieszeniem w postaci czterech podpór zbieżnych do punktu gdzieś powyżej lustra Cassegraina.

Wyniki przedstawione poniżej uzyskano tak samo jak dla RT32, ale z tylko czterema prostymi podporami o grubości 0.159 m (tak jak w dolnej części podpór RT32) zamocowanymi u dołu tak samo (tj. przebijającymi czaszę w odległości ok. 5.7 m od osi) ale leżącymi w płaszczyżnie osi paraboloidy, tworząc z tą osią kąt 27.56°.


CienRT90.gif
CienRT90+5.gif
RT90VPattern(F to+-24)+0&5cm.gif

Rys. 10. Apertura z zaznaczonymi cieniami subreflektora i jego konstrukcji wsporczej i widma przestrzenne (charakterystyki promieniowania) teleskopu oświetlonego gaussowsko (z 10-decybelowym taperem). Lewe panele: górny – cienie 'optyczne' (geometryczne), dolny – cienie od nóg wsporczych i subreflektora o promieniach powiększonych o 5 cm. Prawy panel: kompozycja widm przestrzennych – dopełniające się połówki (górna dla częstości przestrzennych [w cyklach na średnicy] 0 < v < 24 i dolna –24 < v < 0) transformat Fouriera (charakterystyk kierunkowych) odpowiadających rozkładów pola na aperturze, pokazanych w lewych panelach. Obie mapy wyskalowane są tak samo jak na Rys. 4. Znaczy to, że w kierunkach wyrysowanych kolorem czerwonym odbierana moc przekracza 0.0009 wartości w maksimum (tj. tej w środku). Ten kwadratowy obszar na fali λ = 6 cm skaluje się na niebie jako pole o bokach 2 arcsin(24*0.06/32) = 2.58°. Trójwymiarową mapę dla dolnego przypadku zawiera następny rysunek.

RT90F24plus5GMside.gif

Rys. 11. Struktura napięciowej charakterystyki kierunkowej dla apertury hipotetycznego RT32 zacienionej subeflektorem i 4 prostymi jego podporami powiększonymi w promieniu o 5 cm w stosunku do założonych z lewego górnego panelu na Rys. 10. Skala kolorów tej mapy jest taka sama jak na Rys. 5 i Rys. 9, tzn. od 0 (na niebiesko) do 0.03 (na czerwono), a poziomice zaznaczono co 0.003 (najwyższa, kolor czarny, odpowiada poziomowi 0.03, do którego większe amplitudy zostały obcięte). Z prawej strony u góry jest pomniejszona mapka pełnego zakresu charakterystyki w tej samej skali kolorów, ale poziomice są tam co 0.03 (pierwsza poziomica odpowiada więc ostatniej, czyli czarnemu poziomowi obcięcia, na głównej mapie).


Charakterystyka pokazana na rysunku powyżej jest, jak można się było spodziewać po prostrzej strukturze cieni, prostsza niż dla istniejącego RT32 (Rys. 9). Jednak wyniki przedstawione na Rys. 10, Rys. 11 i Rys. 12 przemawiają nieznacznie na korzyść ośmiu podpór zwichrowanych, które, chociaż rzucają w sumie większe cienie na aperturę (jest to 14.40 m2 cieni prostych plus 34.1 m2 zewnętrznych, razem 48.5 m2, a po powiększeniu elementów zasłaniających o 5 cm z każdej strony – 19.25 + 62.48 = 81.7 m2, gdy cienie '4-podporowe' zajmują 10.63 + 28.98 = 39.6 m2, a po powiększeniu o 5 cm – 12.73 + 47.25 = 60.0 m2) dają jednak nieco słabsze listki boczne charakterystyki kierunkowej – zwłaszcza te pierwsze (największe). Jak można odczytać z Rys. 12, ich amplituda (napięciowo) na kierunkach głównych i po przekątnych sięga 0.108 i 0.047, odpowiednio, przy 4-podporowym zawieszeniu subreflektora, zaś 0.078 i 0.095 przy 8 podporach.


Section0&45deg,+5cmRT32&90.gif

Rys. 12. Przekroje przez listki boczne napięciowych charakterystyk kierunkowych z Rys. 5 i Rys. 11 na kierunku współrzędnej u (lub v, tj. poziomo lub po wertykale) i pod kątem 45° do niego. Krzywe czerwona i żółta są tymi samymi, co na Rys. 6 (tj. dla RT32), zaś zielona i niebieska odpowiadają radioteleskopowi o podobnej geometrii, ale z bardziej typowym zawieszeniem subreflektora, na 4 podporach. Wszystkie przedstawione tu przypadki dotyczą cieni od subreflektora i elementów konstrukcji wsporczych powiększonych o 10 cm na średnicach lub szerokościach.


W pomiarach holograficznych można także dostrzec słabo zaznaczone, lecz wyraźne zarysy poszczególnych paneli składających się na reflektor główny RT32 (Rys. 7), przy czym błedy fazowe między pierścieniami paneli zdają się być większe niż te wzdłuż promieni. Z czystej ciekawości sprawdziliśmy jaki wpływ na listki boczne charakterystyki miałyby szpary między panelami z pewną przesadą powiększone do ok. 7 (radialne) i 16 cm (między pierścieniami). Rozkład pola na takiej aperturze i charakterystykę kierunkową przedstawia Rys. 13. Jak widać, jest ona bardzo podobna do tej z Rys. 4 (i 5). Pierwszy listek boczny ma tutaj amplitudę od 0.061 (na kierunku osi u) do 0.093 (u = v), gdy ten z Rys. 5 ma odpowiednio od 0.078 do 0.095. Uwagę zwraca słaby (na kierunku u ma amplitudę 0.014 w maksimum na częstości F = 14.625), ale wyraźny podwójny pierścien wokół listka głównego w odległości ok. 15 cykli na aperturze. Taka częstość przestrzenna podpowiada, że jego źródłem są szpary między pierścieniami paneli, jakie założono do tej analizy – panele są w przybliżeniu o jednakowej długości, zaś ich pierścieni jest 7 z każdej strony na dowolnym kierunku plus subreflektor w środku, czyli właśnie 15.


RozkladPolaEl-Gauss2DzPanelami-half.gif Widmo-Gauss2DzPanelami.gif

Rys. 13. Lewy panel: połowa apertury RT32 z zaznaczonymi panelami głównego reflektora oraz cieniami powiększonego o 5 cm subreflektora i jego konstrukcji wsporczej. Tutaj szpary między pierścieniami paneli mają szerokość ok. 5 pikseli (przy średnicy czaszy ok. 1020 pikseli przekłada się to na prawie 16 cm na faktycznej aperturze), zaś te radialne były rysowane kreską dwukrotnie cieńszą. Kolory oznaczają amplitudę pola elektrycznego w postaci funkcji Gaussa (z 10-decybelowym taperem), od 0 (kolor niebieski) do 1 (czerwony). Prawy panel: mapa amplitudy widma przestrzennego (charakterystyki promieniowania) tego teleskopu w zakresie ±24 cykli na aperturze w obu współrzędnych. Mapa wyskalowana jest tak samo jak na wcześniejszych rysunkach, tzn. od 0 (kolor niebieski) do 0.03 i więcej (kolor czerwony).

KMB, Toruń–Piwnice, dn. 23 lipca 2012 r.